非线性函数的性质(讲解线性函数的定义)-众学网

流形上的测地线

考虑由定义的简单超曲面, 其中是定义在上的实值函数,在上, .上的测地线,记为,定义为弧长泛函的临界点. 在几何上,测地线的主法线与的法线相重合.在分析上,测地线是下列常微分方程组的解:

其中是的某个实值函数.

除了少数例外,该方程组非线性地依赖于. 例如, 我们可以借助来确定. 事实上,如果将关系式对微分两次,我们就得到

其中,表示的Hess矩阵 .于是由测地线方程组可得

从而我们得到

因此, 当是球面时, 是常数; 当是超平面, , 除此之外, 测地线方程组对都是非线性的. 如果是椭球面, Jacobi指出,可借助于椭圆函数将测地线方程组显式地解出来.不过,像这样可以积分出来的方程组很少;而对一个即使与椭球面相差很小的超曲面的测地线进行研究,也需要新的,相当精细的研究方法.更一般地,如果表示一个Riemann度量为

的维黎曼流形,那么上的测地线是非线性系统

的解,其中表示所谓的Christoffel符号.这些符号可借助于函数与它们的导数来计算.于是,在上由上述非线性系统定义的测地线与内蕴度量从而与的弯曲性质直接有关.

借助于的几何与拓扑来研究测地线方程组的解,已经成为研究非线性系统,发现许多全局性的新方法的一种动力.这些方法既可用于非线性常微分方程组,又可用于非线性偏微分方程组.

极小曲面

测地线的二维类似物是极小曲面,即面积分的临界点,从而是平均曲率为零的曲面. 我们先看一个极小曲面的经典问题,即 Plateau问题: 在中给出一个闭Jordan曲面,求一个由张成的面积最小的(光滑)极小曲面, 当曲面可表示为时,函数满足非线性偏微分方程

如果曲面由参数表示为,其中是等温坐标,那么方程就会变为

H.A.Schwarz注意到了测地线与极小曲面之间的一个重要区别:一条可求长曲面的长度,可由充分小的直线线段逼近求出来. 但曲面的面积(面积有限)则未必能由多面体逼近来求出. 通常,逼近的多面体的表面积收敛于一个大于的数.

若和是中两个平行圆(相距),其圆心在垂直于和平面的直线上,在求它们之间的极小曲面时,能观察到一个与极小曲面有关的有趣事实:对于充分小的,与张成的面积最小的曲面是一个悬链面,它由一条悬链线绕直线旋转所成.其方程为

其中,常数和如此选取:使得悬链面以和为界.事实上,将会由与张成的两个不同的悬链面,其中之一就是所要的最小面积的极小曲面.今若充分大,则不存在由与张成的悬链面,此时与张成的最小面积的极小曲面将由两个不相连的曲面构成:一个由张成,另一个由张成.该事实证实了有趣的”间断性”与”破损对称性”这种非线性问题解的研究中所固有的现象.

黎曼曲面的单值化

设是复变量和的一个不可约多项式,它具有常值复系数,则单值化理论与求的形如和的点的表达式有关,其中参数在复平面的一个单连通区域内变化. Poincare和Klein成功地将存在这种参数表达式的证明简化为以下微分几何问题

设表示一个具有Riemann度量

的紧光滑二维流形,那么有没有另一个Riemann度量, 它与共形等价,使得的Gauss曲率是常数?

这个转换如下: 在适当的紧Riemann曲面上,关系式可写为. 现在,如果我们能将表示为复平面中的区域对一个不连续群的商, 则易证典范满射是解析且单值的.于是,对于, 和确定了所要的单值化.此时,这个和的表示恰好是常Gauss曲率二维流形的Clifford-Klein空间问题的内容.

为了求解上面的问题,我们首先回顾:若存在要给定义在上的光滑函数使得, 则这两个度量与是共形等价的(不计微分同胚).即,共形等价的度量表示上相同的复解析结构. 现在借助于非线性微分系统, 问题能变形如下:设表示上的等温参数,则由初等微分几何,我们注意到上关于

的Gauss曲率可写成

而通过一个简短的计算后,关于的Gauss曲率可写成

其中表示上的Laplace-Beltrami算子.于是,若是常数,我们可得到所要的共形映射是非线性椭圆型偏微分方程

的一个解. 对于单值化理论,它提供了不依赖于覆叠空间概念的一个途径.

1900年,Hilbert 提出了将这个单值化理论推广到三个或更多复变量的代数关系中取的问题.然而,尽管许多杰出的科学家进行了努力,并且也获得了许多局部成果,但Hilbert的这个问题仍未解决.

具有指定曲率性质的度量